如何判断两个图是否同构？

判断两个图是否同构是一个在图论中非常重要的问题。两个图同构意味着它们具有相同的结构，即一个图的顶点和边可以重新标记，使得它与另一个图完全相同。以下是判断两个图是否同构的步骤和常用方法：

1. 基本属性检查

首先，检查两个图的基本属性是否一致，因为同构图必须满足以下条件：

• 顶点数相同。
• 边数相同。
• 每个顶点的度数相同。

如果这些基本属性不匹配，则两个图不可能是同构的。

2. 图的邻接矩阵

将两个图表示为邻接矩阵。邻接矩阵是一个方阵，其中每个元素表示两个顶点之间是否存在边。如果两个图的邻接矩阵可以通过行和列的重新排列变成相同的形式，则这两个图是同构的。

3. 图的度序列

度序列是指图中所有顶点的度数按非递增顺序排列的序列。如果两个图的度序列不同，则它们不可能是同构的。但度序列相同并不能保证图同构，因为存在非同构的图具有相同的度序列。

4. 同构不变量

利用同构不变量，如顶点度数、边数、圈数、桥数等。这些不变量必须相同，但相同的不变量也不能保证图同构。

5. 图的自动机

图的自动机（Automorphism Group）是图的所有自同构的集合。如果两个图具有相同的自动机结构，则它们可能是同构的。计算自动机较为复杂，但可以借助计算机软件如Nauty或GAP来完成。

6. 逐步重绘法

通过逐步重绘法，尝试将一个图的顶点和边重新标记，使其与另一个图一致。这种方法在手动操作时较为复杂，但可以通过计算机程序实现。

7. 图的嵌入

将图嵌入到同一个顶点数和边数的网格中，如果两个图可以嵌入到同一个网格中且保持结构一致，则它们是同构的。

8. 计算机辅助

利用现有的计算机算法和软件，如Nauty、Traces等，这些工具可以高效地判断两个图是否同构。

实例

假设有两个图G1和G2，顶点数均为4，边数均为4，每个顶点的度数分别为2、2、2、2。首先，检查度序列相同，然后尝试通过邻接矩阵的重新排列来匹配。如果成功，则两个图同构；否则，通过其他方法继续判断。

关键词

图同构, 邻接矩阵, 度序列